できます。
実装できるかどうかと言う点では CGI を利用できる言語ならできるでしょう。
Java servlet では HTTP method PROPFIND や HTTP method PROPPATCH をサポートしていないので javax.servlet.http.HttpServlet#service() を自分で拡張する必要があるでしょう。
WebDAV クライアントで一覧したい場合には HTTP method PROPFIND を実装すればそれなりに動作するでしょう。
ファイルやディレクトリの作成が必要なら HTTP method PUT や HTTP method MKCOL の実装が必要です。
どんな方法にしろ Apache + mod_dav と Windows や MacOS のやりとりをキャプチャして動作を確認するのがよいでしょう。
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